METODO DE NEWTON - RAPHSON

Metodos Numericos

¿EN QUE CONSISTE?

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El metodo de Newton-Raphson es un metodo de optimizacion iterativo que se basa en aproximar la funcion a optimizar por medio de la serie de Taylor hasta orden 2. Tiene la ventaja sobre el metodo de ascenso mas rapido que no requiere un proceso iterativo para determinar hasta donde moverse.

Suponga que se desea minimizar la funcion f(x) con n variables y que esta se aproxima utilizando el
desarrollo de Taylor hasta orden. Ası
f(x) ≈ .(x) = f(xo) + (x − xo)′∇f(xo) +1(x − xo)′Hf (xo) (x − xo)
                                                 
Si la aproximaxion de f(x) por .(x) es buena, un mınimo relativo f(x) se podrıa aproximar por un mınimo relativo de por .(x). Supongamos que x1 es un mınimo relativo de .(x), entonces x1 es un punto estacionario para .(x), ası ∇.(x1) = 0. Desarrollando el gradiente de .(x), sustituyendo x1 por x e igualando a 0 tenemos:
∇f(xo) +Hf (xo)(x1 − x0) = 0
Si la matriz hessiana Hf (xo) es invertible tenemos que
x1 = xo −Hf −1(xo)∇f(xo) (1)
La expresion anterior se usa como una ecuacion de recurrencia para dado un punto inicial generar una sucecion de puntos que deben converger al mınimo local de f(x). Como calcular la inversa de una matriz tiene una mayor complejidad (8/3 n3) que resolver un sistema de ecuaciones (2/3 n3), la expresion Hf
−1(xo)∇f(xo) se obtiene
resolviendo el sistema
[Hf (xo)|∇f(xo)]